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SCIENZA

Meccanismi di contagio e modelli matematici: come si studia l'epidemia

03 marzo 2020, 05:08

Meccanismi di contagio e modelli matematici: come si studia l'epidemia

LUCA BOLZONI*
MARIA GROPPI**

In questi giorni, leggendo di coronavirus sui quotidiani o sulla rete, potremmo aver sentito parlare di matematica. In un momento in cui si fanno appelli alla razionalità e a basare le nostre reazioni sulle evidenze della scienza, ci aspetteremmo di sentir parlare medici e virologi, non matematici. Eppure la matematica può fornire un aiuto importante per capire come e quanto un’infezione come quella da coronavirus si diffonde. Più di 250 anni fa, un matematico svizzero di nome Daniel Bernoulli, che per primo descrisse con linguaggio matematico la diffusione del vaiolo, scriveva: “mi auguro solo che in una questione che riguarda così da vicino il bene dell'umanità, si decida con la piena consapevolezza che un po' di analisi e di calcolo possono fornire''. Avrà anche 250 anni, ma sembra un pensiero ancora molto attuale.

 

Prevedere come si diffonde un’infezione è possibile utilizzando gli stessi strumenti che permettono le previsioni del tempo, ossia basandosi su modelli matematici. Un modello matematico è una descrizione (semplificata) tramite formule ed equazioni (il linguaggio della matematica) di un aspetto della realtà che vogliamo conoscere. Ma cosa ci occorre sapere per costruire un modello per il coronavirus? Nel modello avremmo bisogno di descrivere solo due cose: quanto le persone infette contagiano quelle sane e dopo quanto tempo gli infetti guariscono. Detto così non sembra molto complicato e in effetti dal punto di vista matematico non lo è. Semplificando all’osso cosa ci dicono questi modelli? Ci dicono che se riusciamo a ridurre sotto una certa soglia il numero di contagi che ogni infetto genera, l’epidemia si estinguerà da sola. Le misure restrittive sulla circolazione delle persone e sugli eventi collettivi che sono state prese nei giorni scorsi avevano lo scopo di diminuire i contatti ravvicinati da persona a persona (che sono alla base della trasmissione del coronavirus) portando il numero di contagi sotto la soglia di sicurezza. Quello che ci stiamo chiedendo a una settimana di distanza è se quei provvedimenti siano stati efficaci nel contenere il contagio e quali siano stati i costi economici e sociali delle scelte fatte. Questo sembra in effetti molto più complicato della matematica e risposte al momento non sono ancora possibili. Per averne occorrerà raccogliere e analizzare correttamente la mole di dati disponibili, per esempio quelli relativi all’andamento dei nuovi casi, alla loro distribuzione nel territorio, agli indicatori economici (andamento del PIL, cassa integrazione..).

 

Se anche non abbiamo sentito parlare di matematica, avremo sentito sicuramente parlare dell’isolamento del coronavirus in un laboratorio del nostro paese dopo i primi casi registrati a Roma (con annessi inviti a competizioni canore per celebrare il successo). Isolare il virus è il primo passo per poterne leggere il codice genetico. Questo è importante per lo sviluppo di un vaccino. Tuttavia il coronavirus era già stato isolato nei laboratori cinesi prima che si diffondesse nel resto del mondo, perché è stato importante averlo isolato anche in Italia e averlo isolato più di una volta? Anche in questo caso, la matematica fornisce strumenti che, al servizio della genetica, possono spiegarci l’origine di questo virus: quando e da dove è partito e che percorsi ha fatto prima di arrivare da noi, a partire da principi molto semplici. Il virus per diffondersi deve replicarsi e quando un virus si replica il suo codice genetico subisce qualche piccola mutazione. Quindi, più il tempo passa più mutazioni si accumulano. Con questi strumenti alcuni ricercatori hanno ipotizzato che, in Cina, il coronavirus avesse cominciato a infettare l’uomo ben prima di quando l’emergenza sanitaria è stata dichiarata. Questa ipotesi deriva dal fatto che i coronavirus isolati a dicembre e gennaio erano già troppo diversi geneticamente tra loro perché fossero passati solo pochi giorni dal primo contagio.

 

Tornando alla similitudine col meteo, ogni tanto può capitare che una gita fuori porta vada a ramengo perché, nonostante la sera prima al Tg ci abbiano detto che ci sarebbe stato il sole, aprendo la finestra vediamo nuvole e pioggia. I modelli matematici non sono un oracolo, possono funzionare solo se le informazioni che forniamo loro sono adeguate e anche in quel caso, per dinamiche molto complesse come la circolazione atmosferica o la diffusione di malattie, la variabilità e l’incertezza relative ai fenomeni fisici (per il meteo) e sociali (per il contagio) che ne stanno alla base possono condurci a previsioni sbagliate.

 

In questo il contesto, un ruolo fondamentale della Scienza (in tutte le sue sfaccettature) diventa quello di non ergersi a depositaria della Verità (con la maiuscola), ma quello di informare onestamente i decisori politici su cosa si sa e cosa non si sa, cosa si può dare per certo e cosa invece è incerto. E questo è molto più difficile che fare semplice matematica. Come cittadini sentiamo l’esigenza di avere informazioni chiare su quello che sta succedendo e la Politica (anche questa con la maiuscola), da parte sua, ha il dovere di spiegare le basi razionali sulle quali le misure di sanità pubblica sono state prese. Quindi, in contesti come quello attuale, la comunicazione equilibrata da parte delle autorità preposte rappresenta l’aspetto più rilevante nella gestione della crisi (più della scienza). Questa comunicazione deve essere in grado di spiegare alla popolazione come stanno le cose, compresa la chiara esposizione delle componenti di incertezza legate al contesto che stiamo vivendo, includendo il fatto che non sappiamo compiutamente se le misure adottate sono state efficaci e quanto ci costeranno. Tutto questo non è facile come la matematica.

 

*Analisi del Rischio ed Epidemiologia genomica, Istituto zooprofilattico sperimentale della Lombardia e dell’Emilia Romagna

 

**Dipartimento di Scienze matematiche, fisiche
e informatiche, Università di Parma

 

 

 

Quando il contagio rallenta la corsa

 

 

I modelli matematici per le epidemie si basano sul cosiddetto modello SIR, introdotto dagli scienziati scozzesi Kermack e McKendrick nel 1927. La sigla SIR deriva dalle iniziali dei gruppi (detti compartimenti) in cui il modello suddivide la popolazione: i suscettibili S, coloro che possono contrarre l’infezione, gli infetti che hanno contratto l’infezione e possono contagiare altri soggetti, gli immuni (o rimossi) R, ossia coloro che sono guariti. Per ciascun compartimento si definiscono i meccanismi attraverso i quali gli individui entrano ed escono da ogni gruppo (infezione, guarigione ecc..) e si traducono in termini matematici.

 

L’analisi della grande quantità di informazioni e di dati a disposizione permette di stimare alcuni indici fondamentali che giocano un ruolo importante nella messa a punto di un modello matematico di tipo SIR per una specifica epidemia. Tra questi il più significativo è il numero riproduttivo di base, universalmente indicato con la sigla Rº, che rappresenta il numero di nuovi casi prodotti da un individuo infetto, nel corso della sua malattia, in una popolazione tutta suscettibile. Il numero Rº rappresenta un parametro soglia in grado di stabilire se l'infezione sarà in grado di esplodere e l'epidemia invaderà la popolazione (ciò si verifica quando Rº>1), oppure se la malattia si estinguerà con conseguenze limitate (quando Rº<1). Nel caso Rº superi 1, ossia quando ogni individuo infetto genera più di un nuovo caso tra i suscettibili, si assiste alla rapida crescita del numero di infetti fino al raggiungimento del cosiddetto picco epidemico, ossia il massimo valore di infetti registrati; dopodiché l’epidemia rallenta la sua corsa, il numero di infetti comincia a diminuire fino a riportare la situazione a livelli normali. Questo andamento è correttamente descritto dai modelli SIR e si può osservare ogni anno nell’epidemia di influenza stagionale.

 

Per l’epidemia di covid-19, sulla base delle rilevazioni di nuovi casi di infetti alla data odierna, Rº è stimato tra 2 e 3 (fonte: https://www.worldometers.info/coronavirus/), anche se altre fonti indicano un numero più elevato e al momento i dati al riguardo non sono ancora del tutto stabili e quindi attendibili; comunque senza dubbio l’epidemia è in fase di espansione. In termini dei parametri del modello SIR, il numero Rº dipende principalmente da due fattori, il tasso di infezione (ossia la probabilità di contagio in seguito a contatto con un infetto) e il tasso di rimozione (ossia il tempo che ci si mette a guarire). Quindi la modellistica matematica ci dice che per abbassare Rº al di sotto della soglia critica 1 occorre cercare di ridurre il tasso di infezione o cercare di aumentare il tasso di rimozione. Vanno nella direzione di ridurre il tasso di infezione le disposizioni che mirano a limitare i contatti tra gli individui (chiusura di scuole, università, luoghi di culto…); invece le azioni messe in atto dalle autorità sanitarie e governative, mirate all’isolamento dei casi accertati, alla quarantena nelle zone più a rischio, all’ospedalizzazione dei casi più gravi, vanno nella direzione di aumentare il tasso di rimozione.